Métodos y problemas resueltos de sistemas
1. Definición y ejemplo
Un sistema de 2 ecuaciones lineales con dos incógnitas \(x\) e \(y\) es un conjunto de 2 ecuaciones en las que aparecen ambas incógnitas. Por ejemplo,
La solución de un sistema de este tipo, en caso de existir, son los valores que deben tomar las incógnitas \(x\) e \(y\) para que se cumplan, al mismo tiempo, las dos igualdades de las ecuaciones.
Por ejemplo, la solución del sistema anterior es \(x = 2\) e \(y = 1\):
Es importante insistir en que la solución del sistema debe cumplir AMBAS igualdades. Por ejemplo, si \(x = 3\) e \(y = 2\), se cumpliría la segunda igualdad del sistema anterior, pero no la primera:
2. Hay que tener en cuenta...
Las incógnitas \(x\) e \(y\) pueden aparecer ambas en las dos ecuaciones, pero no es necesario.
Por ejemplo, en el siguiente sistema no aparece la incógnita \(y\) en la segunda ecuación:
Las ecuaciones del sistema son lineales, lo que quiere decir que NO pueden aparecer potencias de las incógnitas (como \(x^2\)) ni multiplicaciones entre las incógnitas (como \(x\cdot y\)).
Finalmente, podemos recordar que cualquier ecuación puede ser multiplicada por cualquier número distinto de 0 sin que cambie su solución. Esta propiedad la utilizamos en el método de reducción.
3. Solución
Ya hemos dicho que la solución son los valores que deben tomar las incógnitas para que verifiquen las igualdades simultáneamente.
Pueden darse únicamente los siguientes 3 casos:
-
El sistema NO tiene solución: no hay una solución que cumpla ambas igualdades.
-
El sistema tiene una ÚNICA solución.
-
El sistema tiene INFINITAS soluciones.
4. Métodos de resolución
Los 3 métodos básicos para resolver un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas son
-
Sustitución: se aísla una incógnita en una de las ecuaciones para sustituirla en la otra.
-
Igualación: se aísla la misma incógnita en ambas ecuaciones para igualarlas.
-
Reducción: se opera entre las ecuaciones para que desaparezca una de las incógnitas al sumar o restar las ecuaciones.
En los 3 métodos descritos se realizan operaciones para hallar una única ecuación con una única incógnita; se resuelve dicha ecuación y, posteriormente, se calcula la otra incógnita.
5. Resolución de sistemas
A continuación, resolvemos tres sistemas de ecuaciones distintos por uno de los métodos anteriores.
5.1. Método de sustitución
Aislamos, por ejemplo, la \(x\) en la primera ecuación:
Sustituimos la \(x\) en la segunda ecuación:
Resolvemos la ecuación que hemos obtenido:
Ahora ya podemos calcular la otra incógnita:
Por tanto, la única solución del sistema es \(x = 2\) e \(y = 3\).
5.2. Método de igualación
Aislamos la \(x\) en la primera ecuación:
Aislamos la \(x\) en la segunda ecuación:
Igualamos las dos ecuaciones (\(x=x\)) y resolvemos la ecuación:
Calculamos la otra incógnita a partir de \(y = -1\):
Por tanto, la solución es \(x = 1\) e \(y =-1\).
5.3. Método de reducción
Vamos a eliminar la incógnita \(x\) al sumar las dos ecuaciones, pero para ello la \(x\) debe tener el mismo coeficiente, pero de signo contrario, en las ecuaciones. Podemos conseguirlo multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -2:
Sumamos ahora ambas ecuaciones:
Calculamos la otra incógnita sustituyendo \(y=-1\):
Por tanto, la solución es \(x = 0\) e \(y = -1\).
6. Problemas resueltos
Problema 1 
Calcular dos números \(x\) e \(y\) tales que su resta sea 9 y su suma sea 35.
Solución:
Los números deben restar 9:
Y deben sumar 35:
El sistema de ecuaciones que tenemos es
Resolvemos por igualación, aislando \(x\) en ambas ecuaciones:
Igualamos y resolvemos:
Calculamos la otra incógnita:
Por tanto, se trata de los números 22 y 13.
Problema 2
Calcular un número de dos cifras tales que la primera cifra sea el doble de la segunda y que la suma ambas cifras sea 12.
Solución:
Llamamos \(x\) a la primera cifra e \(y\) a la segunda cifra. Entonces, tenemos el sistema de ecuaciones
Resolvemos por sustitución, sustituyendo \(x\) en la segunda ecuación:
Calculamos la otra cifra:
Por tanto, el número buscado es el 84.
Problema 3 
María ha comprado 16 piezas de frutas. Si ha pagado 0.2€ por cada pera y 0.3€ por cada limón, ¿cuántas peras y limones ha comprado si ha pagado un total de 3.6€?
Solución:
Llamamos \(x\) al número de peras e \(y\) al número de limones que ha comprado María.
En total ha comprado 16 piezas:
Ha pagado en total 3.6€:
El sistema de ecuaciones que tenemos es
Multiplicamos la segunda ecuación por 10 para evitar los decimales y la primera por -2 (para aplicar reducción) y sumamos las ecuaciones:
Calculamos la otra incógnita:
Por tanto, María ha comprado 12 peras y 4 limones.
Problema 4
Las edades de Alberto y de su hija suman un total de 34 años. Además, sabemos que dentro de 7 años la edad de Alberto será el triple que la de su hija. ¿Qué edades tienen cada uno?
Solución:
Llamamos \(x\) a la edad de Alberto e \(y\) a la edad de su hija.
La suma de sus edades es 34:
Dentro de 7 años, la edad de Alberto será \(x + 7\) y la edad de su hija será \(y+7\). Además, la de Alberto será el triple que la de su hija:
El sistema de ecuaciones que tenemos es
Resolvemos por reducción RESTANDO las ecuaciones:
Calculamos la otra incógnita:
Por tanto, la edad de Alberto es 29 y la de su hija es 5.
Problema 5
Calcular la fracción tal que
-
si sumamos 1 a su numerador y a su denominador, se transforma en la fracción 2/3,
-
si restamos 1 a su numerador y a su denominador, se transforma en la fracción 1/2.
Solución:
Llamamos \(x\) e \(y\) al numerador y denominador, respectivamente, de la fracción que buscamos: \(x/y\).
Por un lado, si sumamos 1, tenemos 2/3:
Pasamos los denominadores al otro lado multiplicando:
Por otro, si restamos 1, tenemos 1/2:
Pasamos al otro lado los denominadores:
El sistema de ecuaciones que tenemos es
Resolvemos por sustitución, aislando la \(y\) en la segunda ecuación:
Sustituimos en la primera ecuación y resolvemos:
Calculamos la otra incógnita:
Por tanto, la fracción buscada es 3/5.
Más información, ejemplos y problemas resueltos:
-
Resolución de sistemas de ecuaciones (matesfacil.com)
-
Problemas de sistemas de ecuaciones (matesfacil.com)
Otras calculadoras:
Teorema de Pitágoras online © - 2018