Métodos y problemas resueltos
Recordad que solo existe el determinante de matrices cuadradas (mismo número de filas que de columnas).
1. Matriz de dimensión 1
Una matriz de dimensión 1x1 tiene la forma
Y su determinante es
Por ejemplo, el determinante de \(A = (-1)\) es \(|A| = -1\).
2. Matriz de dimensión 2
Una matriz de dimensión 2x2 tiene la forma
Y su determinante es
Por ejemplo,
3. Matriz de dimensión 3 (Regla de Sarrus)
Una matriz de dimensión 3x3 tiene la forma
Y su determinante es
Esta forma de calcular el determinante de una matriz 3x3 se denomina Regla de Sarrus.
Por ejemplo,
4. Matriz de dimensión mayor (Regla de Laplace)
Cuando una matriz tiene dimensión mayor, debemos aplicar la llamada regla o desarrollo de Laplace para determinantes.
Consideremos la matriz cuadrada de dimensión \(n\times n\)
Es decir, \(a_{i,j}\) es el elemento de la fila \(i\) y columna \(j\) de la matriz \(A\).
El desarrollo de Laplace puede realizarse por cualquier fila o columna de la matriz.
El desarrollo por la fila \(i\) es
siendo \(A_{i,j}\) la submatriz de \(A\) resultante al eliminar la fila \(i\) y columna \(j\) de \(A\).
Análogamente, el desarrollo por la columna \(j\) es
El desarrollo puede aplicarse para matrices cuadradas de dimensión \(n> 1\).
Por ejemplo, sea \(A\) la matriz de dimensión 4
Como la matriz \(A\) tiene dos ceros en la fila 2, nos interesa calcular su determinante desarrollando por dicha fila (para calcular solo 2 determinantes de dimensión 3 en lugar de 4):
5. Problemas resueltos
Problema 1 
Comprobar que si una matriz de dimensión 2 tiene una fila que es múltiplo de otra, entonces su determinante es 0.
Solución:
La propiedad es cierta para cualquier dimensión, pero es mucho más sencillo demostrarlo para dimensiones pequeñas.
Si la matriz \(A\) tiene dimensión 2, será de la forma
Calculamos su determinante:
Problema 2
Comprobar que si una matriz de dimensión 2 tiene una columna que sea múltiplo de la otra, entonces su determinante es 0.
Solución:
De nuevo, la propiedad es cierta para cualquier dimensión.
Si la matriz \(A\) tiene dimensión 2, será de la forma
Calculamos su determinante:
Problema 3
Comprobar que, si una matriz de dimensión 2 o 3 tiene una fila (o una columna) de ceros, entonces su determinante es 0.
Solución:
La propiedad es cierta para cualquier dimensión.
Si la matriz \(A\) tiene dimensión 2, será de la forma
Si los ceros están en la fila 1,
Si los ceros están en la fila 2,
Si los ceros están en la columna 1,
Si los ceros están en la columna 2,
Supongamos ahora que la matriz es de dimensión 3:
Por la regla de Sarrus, su determinante es
Si la primera fila de \(A\) es de ceros, entonces todos los \(a_i\) son iguales a 0, por lo que su determinante es 0:
Es fácil ver que ocurre lo mismo si los ceros están en la fila 2 (los \(b_i\) son 0) o en la fila 3 (los \(c_i\) son 0).
Igualmente, el determinante es 0 si
-
la columna 1 es de ceros, porque \(a_1 = b_1 = c_1 = 0\),
-
la columna 2 es de ceros, porque \(a_2 = b_2 = c_2 = 0\),
-
la columna 3 es de ceros, porque \(a_3 = b_3 = c_3 = 0\).
Problema 4
Comprobar que, si una matriz de dimensión 2 o 3 es diagonal, entonces su determinante es el producto de los elementos de su diagonal.
Solución:
La propiedad es cierta para cualquier dimensión.
Si la matriz \(A\) tiene dimensión 2, será de la forma
Su determinante es
Si la matriz es de dimensión 3:
Por la regla de Sarrus, su determinante es
Problema 5
Calcular el determinante de la siguiente matriz de dimensión 3 por la regla de Sarrus y desarrollando por Laplace por la fila 2:
Solución:
Calculamos por Sarrus:
Calculamos por Laplace:
Más información, ejemplos y problemas resueltos:
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Determinantes de matrices (matesfacil.com)
-
Problemas de matrices (matesfacil.com)
Otras calculadoras:
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