Fórmula y problemas resueltos
1. Definición
La forma general de una ecuación de segundo grado o cuadrática es
siendo \(a\neq 0\), \(b\) y \(c\) números reales (coeficientes) y \(x\) la incógnita.
Ejemplo de ecuación cuadrática:
Los coeficientes de esta ecuación son \(a = c = 1\) y \(b = 2\).
2. Soluciones y fórmula
La solución de una ecuación de segundo grado es el conjunto de números que puede tomar \(x\) para que se verifique la igualdad.
Una ecuación cuadrática puede tener
-
Ninguna solución*
-
Una única solución
-
Dos soluciones distintas
*En el primero de los casos, cuando no existen soluciones, la ecuación sí tiene solución en los números complejos (dos soluciones complejas conjugadas, o bien, una solución imaginaria).
Ejemplos:
-
La ecuación \(x^2-1 = 0\) tiene dos soluciones: \(x = -1\) y \(x = 1\).
-
La ecuación \(x^2 -2x+1=0\) tiene una única solución: \(x = 1\).
-
La ecuación \(x^2 + 1 = 0\) no tiene soluciones reales, pero sí tiene dos soluciones imaginarias: \(x = -i\) y \(x = i\).
Toda ecuación cuadrática \(ax^2+bx+c=0\) puede resolverse mediante la fórmula
Es decir, las dos soluciones de la ecuación son
3. Discriminante
Llamamos discriminante de la ecuación de segundo grado \(ax^2 + bx+c =0\) a
Observad que el discriminante es el radicando de la raíz cuadrada de la fórmula.
La importancia del discriminante reside en que de su signo podemos deducir el número y tipo de soluciones de la ecuación:
-
Si \(\Delta < 0\), no tiene soluciones reales.
-
Si \(\Delta = 0\), tiene una solución real.
-
Si \(\Delta > 0\), tiene dos soluciones reales.
4. Tipos de ecuaciones cuadráticas
Distinguimos dos grandes grupos de ecuaciones cuadráticas:
-
Las completas, que son aquellas cuyos coeficientes son no nulos, esto es, \(a, b,c\neq 0\).
-
Las incompletas, que son las ecuaciones que tienen \(b =0\) o bien, \(c=0\).
Para resolver las ecuaciones completas deberemos utilizar la fórmula vista anteriormente. Las incompletas, sin embargo, pueden resolver sin necesidad de dicha fórmula.
5. Representación gráfica
La función asociada a la ecuación de segundo grado \(ax^2+bx+c=0\) es la parábola \(f(x) = ax^2+bx+c\).
La gráfica de esta función una parábola (tiene forma de U si \(a>0\) y de U invertida si \(a<0\)).
Las soluciones de la ecuación cuadrática son la primera coordenada de los puntos de corte de la gráfica con el eje de abscisas (eje horizontal OX).
Teniendo en cuenta lo visto anteriormente, una parábola puede cortar al eje de abscisas en 2 puntos, en 1 o en ninguno.
Ejemplo: gráfica de la función \(f(x) = -x^2+3\):
Los puntos rojos de la representación son el vértice (cuya abscisa es \(-b/2a\)) y los puntos de corte con el eje de abscisas.
6. Problemas resueltos
Problema 1 
Resolver la ecuación de segundo grado completa \(x^2+3x+2=0\).
Solución:
Como es una ecuación completa, debemos aplicar la fórmula para hallar las soluciones.
Los coeficientes de la ecuación son \(a=1\), \(b=3\) y \(c=2\).
Aplicamos la fórmula:
La ecuación tiene dos soluciones:
Por tanto, la ecuación tiene dos soluciones distintas: \(x = -1\) y \(x=-2\).
Problema 2
Indicar el número y tipo de soluciones de las dos siguientes ecuaciones completas a partir de su discriminante:
-
\(x^2+2x-3 = 0\)
-
\(x^2 = 10x-25 \)
Solución:
Recordamos la fórmula del discriminante:
La primera ecuación tiene coeficientes \(a=1\), \(b=2\) y \(c=-3\). Calculamos su discriminante:
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones (reales) distintas. En efecto, las soluciones son \(x = 1\) y \(x=-3\).
La segunda ecuación tiene coeficientes \(a=1\), \(b=-10\) y \(c=25\). Calculamos su discriminante:
Como el discriminante es 0, la ecuación solo tiene una solución real. En efecto, la única solución es \(x = 5\).
Problema 3
Resolver la ecuación de segundo grado incompleta sin utilizar la fórmula cuadrática:
Solución:
Operamos en la ecuación para aislar la incógnita:
El último paso es hacer la raíz cuadrada (sin olvidar los dos signos):
La ecuación tiene dos soluciones distintas: \(x = 2\) y \(x=-2\).
Problema 4 
Resolver la ecuación de segundo grado incompleta sin utilizar la fórmula cuadrática:
Solución:
Podemos extraer \(x\) como factor común en el lado izquierdo:
Una multiplicación es igual a 0 cuando alguno de los factores es igual a 0.
Las soluciones de la ecuación son aquellas que hacen que la multiplicación \(x\cdot (x-3)\) sea igual a 0 y esto ocurre cuando uno u otro de los factores es igual a 0. Por tanto, \(x = 0\) o bien, \(x-3 = 0\).
Dicho en otras palabras, las soluciones de la ecuación son \(x = 0\) y \(x = 3\).
Problema 5
Representar la gráfica de la parábola
Solución:
La ecuación de segundo grado asociada a la función es
Como el coeficiente \(a = 1\) es positivo, la parábola es convexa (es decir, tiene forma de U).
Los puntos de corte de la función con el eje de abscisas (eje horizontal) viene dado por las soluciones de la ecuación, así que vamos a calcularlas.
Como se trata de una ecuación de segundo grado incompleta, podemos calcular las soluciones rápidamente:
Por tanto, los puntos de corte son \((0,0)\) y \((-2,0)\).
Por otro lado, sabemos que la abscisa del vértice es
Calculamos su ordenada:
Las coordenadas dos vértice son \((-1,-1)\).
Finalmente, representamos la parábola sabiendo que es convexa, sus puntos de corte y su vértice:
Problema 6
Proporcionar una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean exactamente \( x = -1\) y \(x =-3\).
Solución:
Es fácil de ver que una ecuación (de primer grado) cuya solución sea \(-1\) es
Y una cuya solución sea \(-3\) es
Si multiplicamos estas dos ecuaciones, tendremos una ecuación de segundo grado con soluciones \(-1\) y \(-3\):
Calculamos la multiplicación de los binomios:
Por tanto, una ecuación cuadrática cuyas soluciones sean \(x=-1\) y \(x=-3\) es
Problema 7 
Calcular las soluciones imaginarias de la ecuación de segundo grado incompleta:
Solución:
Como es incompleta, podemos resolver fácilmente:
Hacemos la raíz cuadrada:
Como la raíz de la multiplicación es la multiplicación de las raíces de los factores,
Finalmente, la raíz cuadrada de -1 es la unidad imaginaria \(i\):
Por tanto, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones imaginarias: \(x =2i\) y \(x = -2i\).
Problema 8
Calcular las soluciones complejas de la ecuación de segundo grado completa:
Solución:
Como la ecuación es completa, aplicamos la fórmula:
Observad que el discriminante de la ecuación es \(-1 <0\), lo que nos informa de que la ecuación tiene raíces complejas.
Seguimos con el cálculo de las soluciones:
Por tanto, las dos soluciones de la ecuación cuadrática son complejas: \(x = 1+2i\) y \(x = 1-2i\).
Más información, ejemplos y problemas resueltos:
-
Ecuaciones incompletas (matesfacil.com)
-
Ecuaciones de segundo grado (problemasyecuaciones.com)
-
Ecuaciones completas (matesfacil.com)
Otras calculadoras:
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