Cálculo y problemas resueltos de mcm y MCD
1. Definiciones
El máximo común divisor (MCD) de dos números \(a\) y \(b\) es el mayor de los divisores comunes de \(a\) y \(b\). Se denota por \(MCD(a,b)\).
El mínimo común múltiplo de dos números \(a\) y \(b\) es el menor de los múltiplos comunes de \(a\) y \(b\). Se denota por \(mcm(a,b)\).
2. Ejemplos
Calculamos el MCD de 8 y 10:
-
Los divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8.
-
Los divisores de 10 son 1, 2, 5 y 10.
Los divisores comunes son el 1 y el 2, siendo 2 el mayor de ellos. Por tanto, el MCD de 8 y 10 es 2:
Calculamos el mcm de 2 y 3:
-
Los múltiplos de 2 son 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18...
-
Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21...
Los múltiplos comunes son 6, 12, 18... siendo 6 el menor de ellos. Por tanto, el mcm de 2 y 3 es 6:
3. Relación entre mcm y MCD
Podemos calcular el mcm de \(a\) y \(b\) a partir del MCD de \(a\) y \(b\) y viceversa mediante la fórmula
4. Cálculo del mcm y del MCD
Anteriormente hemos visto cómo calcular el mcm y el MCD usando su definición (calculando sus múltiplos y divisores y buscando el menor o el mayor de los comunes).
Sin embargo, disponemos de un método más sencillo. Lo primero que debemos hacer es escribir los números \(a\) y \(b\) como producto de potencias de números primos (descomposición).
El mínimo común múltiplo de \(a\) y \(b\) es el producto de las potencias que aparecen en una u otra descomposición (comunes y no comunes), escogiendo los exponentes mayores.
El máximo común divisor de \(a\) y \(b\) es el producto de las potencias que aparecen en ambas descomposiciones (comunes solamente), escogiendo los exponentes menores.
Por ejemplo, vamos a calcular el mcm y el MCD de 8 y 10 siguiendo este método. Las descomposiciones son
Para el mcm, escogemos bases comunes y no comunes al menor exponente:
Para el MCD, escogemos bases comunes al menor exponente:
Recordatorio: para calcular las descomposiciones, dividimos los números sucesivamente entre números primos. Por ejemplo, descomponemos el número 180:
Por tanto, contando el número de veces que parece cada divisor, tenemos
5. Problemas resueltos
Problema 1 
Tenemos dos cordones de 12 y 20 centímetros y queremos cortarlos en trozos iguales, pero de modo que sean lo más largo posible. ¿Cuánto deben medir los trozos? ¿Cuántos trozos se obtienen?
Solución:
Para que todos los trozos midan lo mismo y que no sobre ningún trozo, la longitud debe ser un divisor de 12 y de 20. Además, dicho divisor ha de ser lo más grande posible.
Es decir, estamos buscando el MCD de 12 y 20.
Descomponemos los números:
Calculamos el MCD:
Por tanto, lo trozos deben medir 4 centímetros. Tendremos en total 8 trozos (5 del cordón largo y 3 del pequeño).
Problema 2
En una tienda venden los calcetines negros en paquetes de 16 unidades y los blancos en paquetes de 12. ¿Cuál es el mínimo número de paquetes que debemos comprar para tener el mismo número de calcetines negros y blancos?
Solución:
El número de calcetines negros es de 16 por el número de paquetes comprados, es decir, es un múltiplo de 16:
-
Si compramos 1 paquete, tendremos 16 calcetines.
-
Si compramos 2 paquetes, tendremos 32.
-
Si compramos 3 paquetes, tendremos 48.
-
Y así, sucesivamente.
Lo mismo ocurre con el número de calcetines blancos: es un múltiplo de 12.
Como queremos tener el mismo número de calcetines de cada color, debemos buscar un múltiplo común. Además, este ha de ser el mínimo posible. Por tanto, debemos calcular el mcm(12,16).
La descomposición de los números es
El mcm es el producto de los factores comunes y no comunes al mayor exponente:
Por tanto, el número de calcetines de cada color que debemos comprar es 48. Es decir,
-
3 paquetes de calcetines negros (3·16 = 48)
-
4 paquetes de calcetines blancos (4·12 = 48)
Problema 3
Calcular el mcm y el MCD de 14, 18 y 30.
Solución:
El método para calcular el mcm y el MCD es el mismo que hemos venido usando.
Descomponemos los tres números:
El mcm es el producto de los factores comunes y no comunes al mayor exponente:
El MCD es el producto de los factores comunes al menor exponente:
Problema 4 
¿Cuál es el mcm y el MCD de dos números primos distintos? Calcular mcm(2,5), MCD(3,11), MCD(7,23) y mcm(5,7).
Solución:
Los números primos no se pueden descomponer como potencias de números primos puesto que son primos.
Esto significa que no tienen factores comunes, así que el MCD es 1 (porque no tienen factores comunes) y el mcm es su producto (comunes y no comunes al mayor exponente).
Aplicando lo dicho,
Problema 5
Calcular el MCD de 310 y 465 sabiendo que mcm(310,465) = 930 (sin descomponer los números).
Solución:
Tenemos que aplicar la fórmula
La aplicamos:
Por tanto, el MCD de 310 y 465 es 155.
Más información, ejemplos y problemas resueltos:
-
Problemas resueltos de mcm y MCD (matesfacil.com)
-
Problemas de mcm y MCD (problemasyecuaciones.com)
Otras calculadoras:
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