Propiedades de las potencias y problemas resueltos
1. Definición
La potencia de base b y exponente n
-
se escribe como \(b^n\),
-
se lee b elevado a n
-
y representa la multiplicación formada por \(n\) factores iguales a \(b\), es decir,
2. Ejemplos
-
2 elevado a 3 es igual 8:
La base es 2 y el exponente es 3.
-
3 elevado a 2 es igual a 9:
La base es 3 y el exponente es 2.
-
5 elevado a 1 es igual a 5:
La base es 5 y el exponente es 1.
3. Casos especiales
-
Cuando el exponente es 2, la potencia puede leerse como base “al cuadrado”. Por ejemplo, \(5^2\) se lee "5 al cuadrado".
-
Cuando el exponente es 3, la potencia puede leerse como base “al cubo”. Por ejemplo, \(5^3\) se lee "5 al cubo".
-
Cuando el exponente es 0, el resultado de la potencia siempre es 1. Por ejemplo,
-
Cuando el exponente es 1, el resultado de la potencia es igual a la base. Por ejemplo,
En este caso, no es necesario escribir el exponente porque toda potencia con exponente 1 es igual a la base: \(b^1 = b\).
-
El exponente puede ser un número negativo (lo veremos más adelante), pero también puede ser un número real cualquiera (como un número decimal).
-
La base también puede ser un número real cualquiera (un natural, un entero, una fracción, un irracional…) o incluso una operación (como una suma, una multiplicación o una división).
4. Propiedades
Las propiedades de las potencias son unas fórmulas o reglas que nos permiten calcular más rápidamente ciertas operaciones con potencias, en concreto: multiplicaciones y divisiones de potencias o potencias de multiplicaciones y de divisiones.
4.1. Producto o multiplicación
El producto (multiplicación) de dos potencias con igual base es la potencia de igual base cuyo exponente es la suma de los exponentes:
Por ejemplo,
Observad que las bases deben ser iguales (los exponentes pueden ser distintos). No podemos aplicar esta regla, por ejemplo, para calcular la multiplicación \(2^3\cdot 5^2\).
La potencia de un producto es igual al producto de potencias:
Por ejemplo, el cuadrado de la multiplicación \(2\cdot 3\) es la multiplicación de los cuadrados de 2 y 3:
4.2. Cociente o división
El cociente (división) de dos potencias con igual base es la potencia de igual base cuyo exponente es la resta de los exponentes:
Por ejemplo, 2 al cubo entre 2 al cuadrado es igual a dos:
Observad que las bases deben ser iguales.
La potencia de la división de dos números es la división de la potencia de dichos números:
Por ejemplo, el cuadrado de la fracción 1/2 es la fracción 1/4:
4.3. Potencia de potencia
La potencia de una potencia es la potencia cuyo exponente es el producto de los exponentes:
Por ejemplo, el cuadrado de la potencia 2 al cubo es igual a la potencia 2 a la sexta:
4.4. Suma/resta y potencias
La suma/resta de dos potencias NO es la potencia de la suma/resta:
Por ejemplo,
Sin embargo,
Existen fórmulas para calcular el cuadrado de la suma y la resta:
Si el exponente es otro (distinto de 2), deberemos aplicar otras fórmulas.
5. Exponente negativo
La potencia de base \(b\neq 0\) y exponente negativo \(-n\) es igual al inverso de la potencia \(b^n\), es decir,
La potencia de exponente -1 y cuya base es una fracción es igual a la fracción inversa:
Combinando la propiedad anterior junto con la propiedad “potencia de una potencia” tenemos la siguiente propiedad:
6. Problemas resueltos
Problema 1 
Calcular el cuadrado y el cubo de 3 y 5.
Solución:
La potencia “al cuadrado” y “al cubo” son las potencias con exponentes 2 y 3, respectivamente.
El cuadrado y el cubo de 3 son 9 y 27:
El cuadrado y el cubo de 5 son 25 y 125:
Problema 2 
Calcular el cuadrado y el cubo de 2, -2, 3 y -3.
Solución:
El cuadrado y el cubo de 2 y de 3 son fáciles de calcular:
Las potencias de -2 y -3 tienen base negativa, así que cuando calculamos sus potencias como multiplicaciones de la base tenemos que incluir el signo negativo.
Calculamos el cuadrado de -2 y -3:
Observad que los resultados son positivos (la regla de los signos nos dice que negativo por negativo es positivo).
Calculamos ahora el cubo de -2:
Calculamos el cubo de -3:
También hemos aplicado la regla de los signos: primero, negativo por negativo es positivo y, después, positivo por negativo es negativo.
IMPORTANTE: cuando la base de una potencia es negativa, tenemos que escribir la base entre paréntesis. En caso contrario, se interpreta que el signo negativo se encuentra fuera de la potencia, delante de ella. Por ejemplo,
Problema 3
Calcular el siguiente producto de potencias aplicando las propiedades de las potencias:
Solución:
Como las bases son iguales, sólo tenemos que sumar los exponentes:
Problema 4
Calcular el siguiente producto de potencias aplicando las propiedades de las potencias:
Solución:
Tenemos tres potencias, pero solo dos de ellas tienen la misma base, que es 2.
Como la multiplicación es una operación conmutativa, podemos cambiar el orden de los factores:
De este modo, se ve claramente que las dos potencias de la izquierda tienen la misma base y podemos aplicar la propiedad del producto de potencias:
No podemos aplicar de nuevo la regla porque las bases son distintas:
Problema 5
Calcular los siguientes cocientes de potencias aplicando las propiedades de las potencias:
Solución:
Como tenemos potencias de igual base dividiéndose, se restan los exponentes.
Primera división
Segunda división
Podemos dejar el resultado así o escribir la potencia como una fracción (por el signo negativo del exponente):
Problema 6
Calcular las siguientes potencias de fracciones:
Solución:
En las tres potencias aplicaremos la propiedad de la potencia de una fracción, que nos dice que es igual a la fracción de las potencias (el exponente entra en el numerador y en el denominador).
Primera potencia
Segunda potencia
El exponente negativo intercambia numerador y denominador:
Tercera potencia
Podemos quitar el signo negativo del exponente si intercambiamos numerador y denominador:
Problema 7
Escribir el siguiente producto de potencias como una única potencia aplicando las propiedades de las potencias:
Solución:
Al igual que en el problema anterior, podemos aplicar la propiedad del producto de potencias para las potencias de base 5, sumando sus exponentes:
En el exponente tenemos una resta porque es la suma de un número positivo y uno negativo y, además, tiene resultado negativo:
Por tanto, tenemos
Ahora, podemos escribir la potencia con exponente negativo en el denominador:
Finalmente, podemos escribir la fracción como una única potencia porque ambas bases tienen el mismo exponente:
Problema 8
Calcular el siguiente cociente aplicando las propiedades de las potencias:
Solución:
Aplicamos las propiedades del producto y cociente de potencias con igual base simultáneamente: los exponentes del numerador suman y los del denominador, restan. Además, debemos hacerlo por bases comunes (para la base 7 y para la base 2):
Problema 9
Calcular las siguientes potencias de potencias:
Solución:
Sólo debemos multiplicar los exponentes:
Observad que las potencias tienen el mismo resultado, como consecuencia de la conmutatividad del producto. Por tanto, podemos afirmar la siguiente propiedad de las potencias:
Problema 10
Escribir como una única potencia:
Solución:
Aplicamos la propiedad de la potencia de un producto (de derecha a izquierda):
Problema 11
Escribir como una única potencia:
Solución:
Aplicamos, primero, la propiedad del producto de potencias y, después, la propiedad de la potencia de una potencia:
Problema 12
Calcular la siguiente división:
Solución:
Aparentemente, no tenemos bases comunes. Sin embargo, podemos escribir la base 15 como un producto:
De este modo, aparecen bases comunes en la fracción:
Aplicamos la propiedad del cociente de potencias:
Problema 13
Calcular la siguiente división:
Solución:
Como tenemos una división de potencias de igual base, se restan los exponentes. Sin embargo, debemos tener en cuenta de que uno de los exponentes es negativo, así que la resta se convierte en una suma:
Problema 14
Escribir como una única potencia:
Solución:
Aplicamos la propiedad del cociente de potencias con igual base:
Finalmente, aplicamos la regla de la potencia del producto (de derecha a izquierda):
Problema 15 
¿Cuál es el resultado del cuadrado de una raíz cuadrada?
Calcular el cuadrado de las raíces cuadradas de 2, 3 y 4.
Nota: suponer que \(a\) es no negativo.
Solución:
Sólo tenemos que recordar la definición de la raíz cuadrada para resolver el problema.
La raíz cuadrada de \(a\) es el número \(b\) tal que \(b^2 = a\):
Esto es exactamente lo mismo que decir que el cuadrado de la raíz cuadrada de \(a\) es \(a\):
De este modo,
Problema 16
Calcular la incógnita \(x\) en cada caso:
-
\(x^2 = 9\)
-
\(x^3 = 8\)
Solución:
Primer caso
Resolver \(x^2 = 9\) es encontrar el valor que debe tomar \(x\) para que la igualdad sea cierta. Los únicos números cuyo cuadrado son iguales a 9 son 3 y -3:
Por tanto, la ecuación tiene dos soluciones: \(x = 3\) y \(x = -3\).
Segundo caso
El único número cuyo cubo es igual a 8 es 2:
En esta ecuación no hay solución negativa ya que el cubo de -2 es -8 y no 8:
Otra forma de resolver estas ecuaciones es usando raíces cuadradas y cúbicas, respectivamente.
Problema 17
Si un número \(b\) es negativo, ¿su cuadrado es positivo o negativo? ¿Y su cubo?
Solución:
El cuadrado de cualquier número, excepto del 0, es positivo porque
-
positivo por positivo es positivo y
-
negativo por negativo es positivo.
Por ejemplo,
El caso del cubo no es tan sencillo:
-
Si la base es positiva, el cubo es positivo por positivo por positivo. Luego el resultado es positivo. Por ejemplo,
-
Si la base es negativa, el cubo es negativo por negativo por negativo, así que el resultado es negativo. Por ejemplo, ya hemos visto varias veces que el cubo de -2 es -8:
Problema 18
Calcular las siguientes operaciones:
Solución:
No tenemos propiedades de las potencias para el caso de la suma, así que vamos a calcular los resultados realizando las operaciones.
Primera operación
Primero, calculamos los cuadrados y, después, sumamos:
Segunda operación
Primero, calculamos la suma y, después, el cuadrado:
En ambos casos tenemos los números 1 y 3, el símbolo de suma y la potencia al cuadrado, pero el resultado no es el mismo: en la primera, se suman los cuadrados; en la segunda, se cuadra la suma.
Problema 19
Escribir como una única potencia:
Solución:
Sólo tenemos que aplicar la regla de la potencia de una potencia, esto es, multiplicar todos los exponentes:
Por tanto,
Problema 20
Calcular las siguientes potencias:
Solución:
Las dos primeras potencias son fáciles de calcular:
Es evidente que las potencias de -1 son, bien 1, bien -1. El signo depende del exponente, más particularmente, de su paridad.
Por aplicación de la regla de los signos, si el exponente es par, el resultado es positivo; y, por el contrario, es negativo si el exponente es impar.
Como 123 es un número impar, la potencia es negativa:
IMPORTANTE: la regla de la paridad que acabamos de explicar se cumple siempre para bases negativas (porque en el caso de bases positivas la potencia siempre es positiva).
Así, podemos afirmar, por ejemplo, sin necesidad de hacer cálculos, que el resultado de la potencia \((-999)^{13}\) es un número negativo.
Más información, ejemplos y problemas resueltos:
-
Cálculo de potencias y sus propiedades (matesfacil.com)
-
Potencias (problemasyecuaciones.com)
Otras calculadoras:
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